ตามหาเลข "0"
3 มีนาคม 2562

ขณะที่กำลังอ่านบทความอยู่นี้ คอมพิวเตอร์ หรือมือถือ ของท่านกำลังทำงานอยู่บนระบบเลขฐานสอง ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขสองตัว คือ "0" กับ "1" เข้าแถวกันมาเยอะแยะ ถ้าไม่มีเลข "0" อุปกรณ์ทันสมัยพวกนี้ก็ไม่เกิด ไม่มีวิชาแคลคูลัส ไม่มีแม้แต่วิชาคณิตศาสตร์ที่เรารู้จักกันในปัจจุบัน ไม่มีอุปกรณ์อัตโนมัติ ไม่มีสิ่งที่ทันสมัยต่างๆ


แต่ถ้าย้อนกลับไปดูอดีต มนุษย์เราไม่ได้เข้าใจเลข "0" มาก่อน มันไม่ได้เกิดตามธรรมชาติ เราต้องสร้างมันขึ้นมา


ในสัตว์ชนิดอื่น เช่นลิง สามารถเข้าใจถึง "ความไม่มี" นี้ได้ และแม้แต่สมองจิ๋วๆของผึ้งก็ยังรับรู้ได้ แต่มีเพียงมนุษย์เท่านั้น ที่สามารถจับเอา "0" มาเป็นเครื่องมือได้


Elizabeth Brannon นักประสาทวิทยา แห่งมหาวิทยาลัย Duke ซึ่งทำการศึกษาทั้งคนและสัตว์ ในเรื่องตัวเลขที่อยู่ในใจ เธออธิบายว่า เด็กที่ยังไม่ถึง 6 ขวบ สามารถเข้าใจได้ว่า "ศูนย์" หมายถึง "ไม่มีอะไร" แต่ถ้าถามเด็กว่า ระหว่าง "ศูนย์" กับ "หนึ่ง" ตัวไหนน้อยกว่า เด็กมักจะตอบว่า "หนึ่ง" ไม่ง่ายเลยที่จะให้เด็กเรียนรู้ว่า "ศูนย์" น้อยกว่า "หนึ่ง"


เกมหนึ่งที่เธอชอบเอาไปเล่นกับเด็ก 4 ขวบ ในการทดสอบการเรียนรู้ (cognitive science) คือ ให้เด็กเลือกว่ากระดาษแผ่นไหนมีจุดน้อยกว่า เช่นเอากระดาษแผ่นใหญ่มี 2 จุด วางเทียบกับกระดาษแผ่นเล็กมีสี่จุด และกระดาษแผ่นเล็กไม่มีจุดเลย (ศูนย์) เทียบกับกระดาษแผ่นใหญ่มี 8 จุด ปรากฎว่า ไม่ถึง 50% ของเด็ก 4 ขวบ ที่ตอบถูก ว่า "ศูนย์" นั้นน้อยกว่า และไม่น่าเชื่อว่า ผลการทดสอบกับลิงชิมแปนซี มักจะตอบถูกมากกว่าเด็ก


Andreas Nieder นักวิทยาศาสตร์ด้านการรับรู้ (cognitive scientist) ชาวเยอรมัน ได้ตั้งสมมุติฐาน องค์ความรู้เกี่ยวกับ "ศูนย์" ว่ามีอยู่ 4 ระดับด้วยกัน เรียงตามลำดับความยาก สัตว์ต่างๆ อาจจะเรียนรู้ได้ถึง ระดับ 3 ส่วนระดับสุดท้าย มีแต่มนุษย์เท่านั้น ที่จะเรียนรู้ได้ ระดับทั้งสี่นั้นก็คือ


1. รู้ว่า มี-ไม่มี เช่น เห็น หรือได้ยินเสียง เปิดไฟ-ปิดไฟ


2. มีการตอบสนอง ไม่ใช่แค่รับรู้ แต่เริ่มเข้าใจ เช่นอาหารหมด ต้องไปหามาเติม


3. แยกแยะในเชิงปริมาณได้ เช่น มีน้อย-มีมาก-ไม่มี


ระดับทั้งสามนั้น มีในเด็ก 6 ขวบ และในสัตว์บางชนิดด้วย เช่นลิงชิมแปนซี และไม่น่าเชื่อว่ามีในสัตว์ที่สมองกระจิ๊ดเดียวคือ "ผึ้ง" ด้วย


แต่ระดับที่ 4 ต่อไปนี้ จะไม่มีในสัตว์ ยกไว้ให้ Homo sapiens คือมนุษยชาติอย่างเราๆเท่านั้น นั่นก็คือ …


4. การเรียนรู้ว่า "0" เป็นทั้งสัญลักษณ์และเครื่องมือทางตรรกะ (symbol and a logical tool) ในการแก้ปัญหาต่างๆได้


การทดสอบของ Brannon ที่ให้เลือกค่าน้อยที่สุดที่กล่าวมาแล้วนั้น แม้เมื่อนำมาทดลองกับผู้ใหญ่ แน่นอนว่าถูกหมด แต่เขาใช้เปรียบเทียบ จับเวลาครับ และพบว่า สมอง จะใช้เวลาในการเลือก ศูนย์เทียบกับหนึ่ง มากกว่า ศูนย์เทียบกับตัวอื่น นั่นคือ สมองทำงานมากขึ้นหน่อยหนึ่งเกี่ยวกับ "0"


จำนวนตัวเลขอย่างเช่น 1, 2 และ 3 มันมีของที่เทียบกันได้ เช่น เราเห็นไฟกะพริบ 1 ครั้ง ได้ยินเสียงแตรรถ 2 ครั้ง แต่ 0 ครั้ง มันเป็นยังไง


Robert Kaplan ศาสตราจารย์ทางคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัย Harvard ผู้เขียนหนังสือ "The Nothing that is: A Natural History of Zeto" กล่าวว่า "ศูนย์ หรือความไม่มี มันอยู่ในจิตใจ มันไม่ได้อยู่ในโลกของการรับรู้ (sensory world)"


นักคณิตศาสตร์ที่ชื่อว่า John von Neumann ให้เราลองจินตนาการถึงกล่องที่ไม่มีอะไรอยู่ข้างใน นักคณิตศาสตร์เรียกกล่องเปล่านี้ว่า "empty set" เพื่อใช้สิ่งที่จับต้องได้นี้แทน "ศูนย์" แล้วอะไรที่อยู่ในกล่องเปล่า - ไม่มี


คราวนี้หากล่องเปล่ามาอีกใบ ใส่ลงไปในกล่องแรก


มีอะไรอยู่ในกล่องแรก ? … มีกล่องเปล่าอยู่ใบนึง


เอากล่องเปล่า อีกใบ ใส่ลงไปอีก … ตกลงเรามีกล่องเปล่า สองใบ


เราสร้างการนับเลขจาก ศูนย์ หรือจากความไม่มีอะไรเลย


ศาสตราจารย์ Kaplan บอกว่า นี่คือพื้นฐานของระบบตัวเลขของเรา "0" เป็นทั้งรูปธรรม และนามธรรม ในเวลาเดียวกัน


"0" มีความสำคัญต่อวิชาคณิตศาสตร์ของเรา เพราะ มันมี 2 หน้าที่ อย่างแรกคือทำหน้าที่กำหนดตำแหน่ง (placeholder)


ของระบบตัวเลขของเรา อย่างที่สองคือ ตัวมันเองก็ใช้คำนวณได้

การทำหน้าที่กำหนดตำแหน่งของ "0" นั้น มีมานาน ตั้ง 5,000 กว่าปีมาแล้ว ตั้งแต่สมัยเมโสโปเตเมียโน่น แต่เขาใช้วิธี "เว้นวรรค" เอาเท่านั้น


ใช่แล้วครับ ก่อนที่จะมีเลขศูนย์ มนุษย์เราก็มีสัญลักษณ์ตัวเลขใช้มานานนับพันปี


อียิปต์ ก่อนคริสตกาลถึง 3500 ปี ก็มีเครื่องหมายแทนจำนวนนับ คือใช้ขีดเอา ถึงเก้าก็มีเก้าขีด พอขึ้นหลักสิบ ใช้สัญลักษณ์รูปตัวยูหัวคว่ำ เก้าสิบก็มีเก้าอัน หลักร้อยทำเป็นรูปคล้ายๆเลขหนึ่งไทย และมากขึ้นไปจนเป็นพันก็เปลี่ยนรูปไป จนถึงรูปที่แทนหลักล้านก็ยังมี … แต่ไม่มีศูนย์


ต่อมาประมาณ 500 ปี ก่อนคริสตกาล กรีก คิดตัวเลขออกมาเป็นชุด เพื่อจะได้ไม่ซ้ำกัน คือ 1, 2, 3, 4 … ถึง 9 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์คล้ายๆ แอลฟ่า เบต้า แกมม่า เดลต้า … ถึง เซต้า พอขึ้นหลักสิบ คือ 10 ถึง 90 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์อีกชุดหนึ่ง บางตัวก็คุ้นตา เช่น แลมด้า คือ 30 พาย คือ 80 ส่วนหลักร้อย (100…900) ก็มีอีกชุดหนึ่ง และแน่นอนที่ว่า - ไม่มีเลขศูนย์


มาถึงยุคโรมัน เอาอักษรมาแทนตัวเลข เหมือนกันกับที่เราเคยเห็นตามหน้าปัทม์นาฬิกาโบราณ คือ I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, M=1000 และเพื่อลดจำนวนอักษร จึงใช้วิธีเขียนข้างหน้าเอาไปลบ เขียนข้างหลัง เอาไปบวก เช่น IV=4, VI=6


แต่ถึงกระนั้นก็ยังยาว เช่น 87 ต้องใช้สัญลักษณ์แทนถึง 7 ตัว คือ LXXXVII แถมมีตัวซ้ำด้วย และ…ไม่มีศูนย์เช่นกัน แล้วมันจะเป็นยังไง ถ้าจะเอา CLXIV คูณด้วย XXIV !?


ไม่ต้องถึงกับคูณ ซึ่งไม่รู้ว่าสมัยนั้นมีหรือยัง แค่บวกก็ปวดหัวแล้ว เช่น เลขโรมันสำหรับ 103 คือ CIII ส่วน 99 คือ XCIX ลองบวก CIII + XCIX ดูสิครับ มันจะประหลาดมากเลย ไม่รู้ว่าคนโรมันในสมัยโบราณเขาทำยังไง สมัยนี้ยังง่าย และเห็นเป็นเรื่องธรรมดา เพราะมี "0" เสียบกลาง ไว้แยกความแตกต่างระหว่าง 103 กับ 13 ... แต่โรมันก็ไม่มีศูนย์


ย้อนเวลาขึ้นไปอีกนิด คือ ในราว 2500 ปี ก่อนคริสตกาล ชาวบาบิโลเนีย ผู้ให้กำเนิดระบบเลขฐาน 60 (ที่ต่อมาเราเอามาใช้สำหรับย่อยชั่วโมงเป็น 60 นาที และย่อยนาทีเป็น 60 วินาที) บางทีเขาก็มีการ "เว้นวรรค" เพื่อแทน "ตำแหน่งว่าง" ด้วยเหมือนกัน ต่อมา ในราว 200 ปี ก่อนคริสตกาล เขาเริ่มใช้สัญลักษณ์ สามเหลี่ยมคู่ อันเล็กๆ แทน "ตำแหน่งว่าง" เพราะเว้นวรรคอาจจะเห็นไม่ชัด แต่มันก็ยังคงเป็นแค่ตัวบอกตำแหน่ง


ประมาณ 1500 ปีมาแล้ว ชนเผ่ามายันโบราณในอเมริกากลาง ในอีกซีกโลกหนึ่ง ก็คิดสัญลักษณ์เป็นรูปเปลือกหอยแทนเลขศูนย์ขึ้นมาใช้บอกตำแหน่งเหมือนกัน แต่ไม่ได้ใช้คำนวณ และไม่น่าจะมีอิทธิพลอะไรต่อการคิดเลขศูนย์ในแถบเอเซีย เพราะไกลกันเหลือเกิน


แล้วเลขศูนย์ที่ใช้บอกตำแหน่งและใช้คำนวณได้ด้วย มาจากไหนกัน ?


มาจากชาติที่คิดเลขเก่ง คือ "อินเดีย" นั่นเอง ชาวอาหรับ ให้กำเนิดเลขเก้าตัว 1..9 เรียกว่า เลขอารบิค ชาวฮินดูให้กำเนิดเลข 0 ดังนั้นเลขสิบตัว 0..9 จึงเรียกว่า เลขฮินดู-อารบิค (Hindu-Arabic) โดยคำว่าฮินดูในที่นี้ หมายถึงชาวอินเดีย ไม่ใช่ศาสนาฮินดู


มีการวิเคราะห์กันว่า บางที ความว่าง หรือ สุญตา ในศาสนาพุทธ น่าจะเป็นที่มาของเลขศูนย์ โดยการใส่สัญลักษณ์ "จุดของความว่างเปล่า" ที่อินเดียเรียกว่า "สูญญพินทุ" (shunya-bindu)


ใช่แล้วครับ กำเนิดเลขศูนย์ เริ่มด้วยจุด เรียกว่า "สูญ" (sunya) โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย ที่ชื่อว่า "พราหมณ์คุปต์" (Brahmagupta) ในช่วงระหว่างศตวรรษที่ห้าถึงเจ็ด


หลักฐานอย่างหนึ่งของกำเนิดเลขศูนย์ในอินเดีย ที่ถือกันว่าเก่าแก่ที่สุดมานาน คือข้อความที่จารึกบนผนังวัดจตุรบูชา (Chaturbhuja Temple) เมื่อปี 876 ในเมือง Gwalior แถบตอนกลางของอินเดีย ที่เรียกว่า มัธยประเทศ (Madhya Pradesh)


แต่เมื่อไม่นานมานี้ คือเมื่อปี 2017 นี่เอง ได้พบหลักฐานที่เก่ากว่า คืออักขระที่จารึกบนเปลือกไม้ เขียนเป็นภาษาโบราณ รวมเป็นเล่ม ที่พบในหมู่บ้าน Bakhshali จึงเรียกว่า "Bakhshali manuscript" ซึ่งเป็น "คู่มือคิดเลขสำหรับพ่อค้า" (practical manual on arithmetic for merchants) ที่จริงพบตั้งแต่สมัยที่อังกฤษปกครองประเทศอินเดีย จนขนกลับไปเก็บไว้ที่พิพิธภัณฑ์ Oxford ในกรุงลอนดอนเรียบร้อยโรงเรียนฝรั่งนานแล้ว แต่เขาเพิ่งจะเอามาเข้าเครื่องวัดความเก่าแก่เมื่อปี 2017 นี่เอง โดยวิธีวัดสัดส่วนของไอโซโทปของธาตุคาร์บอน C14 ต่อ C12


ที่ว่าเก่ากว่าน่ะ-ใช่ แต่เกิดคำถามใหม่กับพวกนักวิจัย คือ เขาเอามา 3 ตัวอย่าง ปรากฏว่า แต่ละตัวอย่างบอกเวลาห่างกันเป็นร้อยปีเลย คือ มีอายุอยู่ในช่วงปี 224–383, 680–779, และ 885–993


ถ้าการวัดถูกต้อง ก็จะงงกันต่อไปว่า เอกสารห่างกันเป็นร้อยปี มามัดติดรวมอยู่ในที่เดียวกันได้อย่างไร


ช่างเขาเถอะ ปล่อยให้ฝรั่งปวดหัวเสียบ้าง


หลังจากที่อินเดียคิดเลขศูนย์ได้ เป็นที่ถูกใจพ่อค้าชาวอาหรับ ซึ่งเรียกเลขศูนย์นี้ว่า "sifr" ที่แปลว่า "ว่างเปล่า" จากคำว่า "sunya" ของอินเดีย จึงพามันมายุโรป กลายเป็น "safira" และ "zefiro" ที่อิตาลี และสุดท้าย กลายมาเป็น "zero" ที่ฝรั่งเศสและอังกฤษในที่สุด


เดี๋ยวนี้ เลขศูนย์ที่ใช้ในกลุ่มประเทศอาหรับ ก็ยังเป็นจุดอยู่ แต่ที่แพร่กระจายไปที่อื่นๆนั้นได้ถูกขยายขึ้นเป็นวงกลม ให้มีขนาดเท่ากับตัวอื่น


ที่เท่ไม่เหมือนใครคือเลขศูนย์ที่ประเทศพม่า - มีทั้งจุดตรงกลาง และวงกลมรอบจุดด้วย!


เมื่อเลขศูนย์ ที่ใช้ในฐานสิบ เป็นทั้งเครื่องหมายบอกตำแหน่ง และช่วยในการคำนวณ ตั้งแต่ปี 500 โดยใช้วงกลม แทน "ศูนย์" มันจึงเป็นสมาชิกหนึ่งในสิบของตัวเลขตั้งแต่นั้นมา


เมื่อแขกมัวร์ ยึดสเปนได้ ก็นำเอาการคำนวณแบบใหม่นี้เข้าไปเผยแพร่ด้วย


ไม่น่าเชื่อว่า ฝรั่งกลัวเลขศูนย์ เพราะกลัวความชั่วร้ายที่อยู่ในวงกลมแห่งความว่างเปล่าเล็กๆนั่น ซึ่งเขาฝังใจว่า มันมากับพวกอิสลาม เพราะช่วงนั้นกำลังเกิดสงครามครูเสดพอดี และเรียกมันว่า "มนต์ดำที่อันตรายของชาว Saracen" ถึงกับออกกฎหมายห้ามใช้เลขนี้ใน ฟลอเรนซ์ ประเทศอิตาลี


เดี๋ยวนี้เราคุ้นชินกับเลขศูนย์ จนไม่นึกอะไร แต่ลองจินตนาการถึงพวกฝรั่งยุคแรกๆ ที่ไม่รู้จักเลขศูนย์ อยู่ๆ มีคนบอกว่า มีตัวเลขที่แทนความไม่มีอะไรเลย เขาก็คงจะงง ว่า ไม่มีอะไร แล้วจะหาอะไรมาแทนมันทำไม แถมเลขตัวนี้ เอาไปบวกอะไรก็ได้ตัวเดิม เอาไปลบอะไร ก็ได้ตัวเดิม แต่พอเอาไปคูณอะไร มันหายไปหมดเลย ถ้าเอาอะไรมาหาร จะไม่เหลืออะไร เพราะเดิมก็ไม่มีอะไรอยู่แล้ว แต่จะเอาเจ้าตัวนี้ไปหารตัวอื่นบ้าง ไม่ได้! ห้ามเด็ดขาด! พวกฝรั่งโบราณน่าจะไปไม่เป็นกันพักใหญ่แหละ


นานไปคนก็เริ่มยอมรับ หลังจากที่ ฟิโบแนกซี (Leonardo Fibonacci) นำเลขศูนย์และการคำนวณแบบใหม่เข้าไปในยุโรป จนในที่สุด นิวตัน ก็เอาไปสร้างการคำนวณแบบใหม่ที่ต้องอาศัยค่าที่เข้าใกล้ศูนย์ นั่นก็คือ แคลคูลัส ซึ่งถือเป็นการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ขนานใหญ่ หลังจากนั้น วิทยาศาสตร์ยุคใหม่ก็พุ่งกระฉูด


ถ้าไม่มี "ศูนย์" ก็จะไม่มีแคลคูลัส ไม่มีระบบบัญชีการเงิน ไม่มีการคำนวณเลขคณิต และ ไม่มีคอมพิวเตอร์ ดังนั้นการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ คือการค้นพบสิ่งที่ไม่มี หรือ "0" นั่นเอง


ถึงแม้เราจะรู้ว่า เลขที่น้อยกว่า "2" คือ "1" และน้อยกว่า "1" คือ "0" แต่เมื่อเขียนเรียงเลข เรามักจะไม่เริ่มด้วย "0" โดยมากจะเขียน 1 ถึง 9 แล้วจึงต่อด้วย 0 ปิดท้าย เป็นน้องนุชสุดท้อง ไม่เชื่อลองไปดูที่แป้นคอมพิวเตอร์หรือแป้นกดเลขโทรศัพท์ดูสิ


เพราะว่า เราเริ่มนับด้วยเลข "1" น่ะสิครับ


... @_@ ...

Ref:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/0